Declaración del problema: Para cada uno de los modelos del ejercicio 3.1 y también para los siguientes modelos, indique si es (a) estacionario (b) invertible. Solución: Estos son todos modelos ARMA, por lo que la estacionariedad se sostiene si y sólo si las raíces de la ecuación AR están todas fuera del círculo unitario, e invertibilidad si y sólo si las raíces de la ecuación MA están todas fuera del círculo unitario. Nota: Los autores escriben todo el tiempo para enfatizar que usted tiene que sacar la media de estos modelos. Sólo escribiremos Z t y asumiremos que todo es malo. La raíz (s) de la ecuación característica autorregresiva es (son), fuera del círculo unitario. Por lo tanto, el proceso es estacionario. Las raíces de la ecuación característica del promedio móvil forman un conjunto vacío, por lo que todas las raíces están vacuamente fuera del círculo unitario. Poner diferentemente (en el lenguaje que fue utilizado en la conferencia), no hay raíces de encendido o en el círculo de la unidad. Por lo tanto, el proceso es invertible. La raíz (s) de la ecuación característica autorregresiva forma un conjunto vacío, por lo que todas las raíces están vacuamente fuera del círculo unitario. Poner diferentemente (en el lenguaje que fue utilizado en la conferencia), no hay raíces de encendido o en el círculo de la unidad. Por lo tanto, el proceso es estacionario. Las raíces de la ecuación característica media móvil se pueden determinar por factoring: ambas raíces están fuera del círculo unitario. Por lo tanto, el proceso es invertible. La raíz de la ecuación característica autorregresiva es, fuera del círculo unitario. Por lo tanto, el proceso es estacionario. El operador de media móvil es el mismo que en el Modelo 2, por lo que el proceso es invertible. Las raíces de la ecuación característica autorregresiva El módulo al cuadrado de estas complejas raíces conjugadas está fuera del círculo unitario. Por lo tanto, el proceso es estacionario. (Se puede determinar esto sin computar las raíces, una vez que se sabe que las raíces son conjugados complejos. Recuerde que el producto de las raíces recíprocas es el módulo al cuadrado e igual al coeficiente de v 2, a saber 0,6 en este caso, por lo que el módulo Cuadrado es 1 / 0.6 gt 1.) El proceso es invertible como en el Modelo 1. La raíz de la ecuación característica autorregresiva es, en el círculo unitario. Por lo tanto, el proceso no es fijo. La raíz del polinomio característico de media móvil es v 2, fuera del círculo unitario. Por lo tanto, el proceso es invertible. La raíz de la ecuación característica autorregresiva es, en el círculo unitario. Por lo tanto, el proceso no es fijo. Las raíces de la ecuación característica media móvil se pueden determinar por factoring: Estimación de un proceso de media móvil no invertible El caso de la sobredifferencia Charles I. Plosser Graduate School of Business, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305, EE. UU. G. William Schwert Graduate Resumen Se analiza el efecto de diferenciar todas las variables en una ecuación de regresión correctamente especificada. El uso excesivo de la transformación de la diferencia induce un proceso de media móvil no inversible (MA) en las perturbaciones de la regresión transformada. Las técnicas de Monte Carlo se utilizan para examinar los efectos de la sobredifferencia sobre la eficiencia de las estimaciones de los parámetros de regresión, las inferencias basadas en estas estimaciones y las pruebas de sobrediferencia basadas en el estimador del parámetro MA para las perturbaciones de la regresión de las diferencias. En general, el problema de la sobrediferencia no es grave si se presta una atención especial a las propiedades de las perturbaciones de las ecuaciones de regresión. Quisiéramos agradecer los valiosos comentarios de John Abowd, Mukhtar Ali, Kenneth Gaver, Martin Geisel, Charles Nelson, David Pierce, Harry Roberts, Christopher Sims, William Wecker y Arnold Zellner, aunque somos responsables de los errores restantes. La participación de Plossers en esta investigación fue parcialmente apoyada por la Fundación Nacional de Ciencias Fundación SOC 7305547 y la H. G.B. Alexander en la Universidad de Chicago. Una versión anterior de este documento fue presentada ante la Sociedad Econométrica en septiembre de 1976 en Atlantic City, Nueva Jersey. Los modelos estacionarios lineales para series temporales donde la variable aleatoria se denomina innovación porque representa la parte de la variable observada que es impredecible dados los valores pasados. El modelo general (4.4) supone que es la salida de un filtro lineal que transforma las innovaciones pasadas, es decir, es un proceso lineal. Esta hipótesis de linealidad se basa en el teorema de la descomposición de Wolds (Wold 1938) que dice que cualquier proceso discreto de covarianza estacionaria puede expresarse como la suma de dos procesos no correlacionados, donde es puramente determinista y es un proceso puramente indeterminista que puede ser escrito como lineal Suma del proceso de innovación: donde está una secuencia de variables aleatorias seriadas no correlacionadas con media cero y varianza común. La condición es necesaria para la estacionariedad. La formulación (4.4) es una reparametrización finita de la representación infinita (4.5) - (4.6) con constante. Por lo general se escribe en términos del operador de retardo definido por, que da una expresión más corta: donde los polinomios del operador de lag y se llaman el polinomio y el polinomio, respectivamente. Para evitar la redundancia de parámetros, se supone que no hay factores comunes entre el y los componentes. A continuación, estudiaremos la trama de algunas series temporales generadas por modelos estacionarios con el objetivo de determinar los patrones principales de su evolución temporal. La figura 4.2 incluye dos series generadas a partir de los siguientes procesos estacionarios calculados por medio del cuantitativo genarma: Figura 4.2: Series temporales generadas por modelos Como era de esperar, ambas series temporales se mueven alrededor de un nivel constante sin cambios en la varianza debido a la propiedad estacionaria. Además, este nivel está próximo a la media teórica del proceso, y la distancia de cada punto a este valor está muy raramente fuera de los límites. Además, la evolución de la serie muestra desviaciones locales de la media del proceso, que se conoce como el comportamiento de reversión media que caracteriza las series temporales estacionarias. Estudiemos con detalle las propiedades de los diferentes procesos, en particular, la función de autocovariancia que capta las propiedades dinámicas de un proceso estacionario estocástico. Esta función depende de las unidades de medida, por lo que la medida habitual del grado de linealidad entre las variables es el coeficiente de correlación. En el caso de procesos estacionarios, el coeficiente de autocorrelación a lag, denotado por, se define como la correlación entre y: Por lo tanto, la función de autocorrelación (ACF) es la función de autocovarianza normalizada por la varianza. Las propiedades de la ACF son: Dada la propiedad de simetría (4.10), la ACF suele estar representada por medio de un gráfico de barras en los retornos no negativos que se denomina correlograma simple. Otra herramienta útil para describir la dinámica de un proceso estacionario es la función de autocorrelación parcial (PACF). El coeficiente de autocorrelación parcial al retraso mide la asociación lineal entre y ajustado para los efectos de los valores intermedios. Por lo tanto, es sólo el coeficiente en el modelo de regresión lineal: Las propiedades de la PACF son equivalentes a las de la ACF (4.8) - (4.10) y es fácil demostrar que (Box y Jenkins 1976). Al igual que la ACF, la función de autocorrelación parcial no depende de las unidades de medida y se representa mediante un gráfico de barras en los retornos no negativos que se denomina correlograma parcial. Las propiedades dinámicas de cada modelo estacionario determinan una forma particular de los correlogramas. Además, se puede demostrar que, para cualquier proceso estacionario, ambas funciones, ACF y PACF, se acercan a cero, ya que el retraso tiende al infinito. Los modelos no son siempre procesos estacionarios, por lo que es necesario determinar primero las condiciones de estacionariedad. Hay subclases de modelos que tienen propiedades especiales por lo que los estudiaremos por separado. Así, cuando y, es un proceso de ruido blanco. Cuando, se trata de un proceso de orden puro y móvil. , Y cuando es un proceso autorregresivo puro de orden. . 4.2.1 Proceso de ruido blanco El modelo más simple es un proceso de ruido blanco, donde está una secuencia de variables de media cero no correlacionadas con varianza constante. Se denomina por. Este proceso es estacionario si su varianza es finita, dado que: verifica las condiciones (4.1) - (4.3). Por otra parte, no está correlacionada con el tiempo, por lo que su función de autocovariancia es: La Figura 4.7 muestra dos series temporales simuladas generadas a partir de procesos con media y parámetros cero y -0,7, respectivamente. El parámetro autorregresivo mide la persistencia de eventos pasados en los valores actuales. Por ejemplo, si un choque positivo (o negativo) afecta positivamente (o negativamente) durante un período de tiempo que es más largo cuanto mayor sea el valor de. Cuando, la serie se mueve más aproximadamente alrededor de la media debido a la alternancia en la dirección del efecto de, es decir, un choque que afecta positivamente en el momento, tiene efectos negativos sobre, positivo en. El proceso es siempre invertible y está parado cuando el parámetro del modelo está limitado a estar en la región. Para probar la condición estacionaria, primero escribimos la forma media móvil mediante la sustitución recursiva de (4.14): Figura 4.8: Correlaciones de la población para los procesos Es decir, es una suma ponderada de las innovaciones pasadas. Los pesos dependen del valor del parámetro: cuando, (o), la influencia de una innovación dada aumenta (o disminuye) a través del tiempo. Tomando las expectativas de (4.15) para calcular la media del proceso, obtenemos: Dado que, el resultado es una suma de términos infinitos que converge para todo el valor de sólo si, en cuyo caso. Un problema similar aparece cuando calculamos el segundo momento. La prueba puede ser simplificada suponiendo que, es decir,. Entonces, la varianza es: Una vez más, la varianza va al infinito excepto para, en cuyo caso. Es fácil verificar que tanto la media como la varianza explotan cuando esa condición no se mantiene. Por tanto, la función de autocorrelación para el modelo estacionario es: Es decir, el correlograma muestra un decaimiento exponencial con valores positivos siempre si es positivo y con oscilaciones positivas negativas si es negativo (ver figura 4.8). Además, la tasa de decaimiento disminuye a medida que aumenta, por lo que cuanto mayor sea el valor de la más fuerte la correlación dinámica en el proceso. Finalmente, hay un corte en la función de autocorrelación parcial en el primer retardo. Se puede demostrar que el proceso general (Box y Jenkins 1976): Es estacionario sólo si las raíces de la ecuación característica del polinomio están fuera del círculo unitario. La media de un modelo estacionario es. Es siempre invertible para cualquier valor de los parámetros. Su ACF va a cero exponencialmente cuando las raíces de son reales o con fluctuaciones de onda seno-coseno cuando son complejas. Su PACF tiene un corte en el retraso, es decir. Algunos ejemplos de Correlogramas para modelos más complejos, como el, se puede ver en la figura 4.9. Son muy similares a los patrones cuando los procesos tienen raíces reales, pero toman una forma muy diferente cuando las raíces son complejas (ver el primer par de gráficos de la figura 4.9). 4.2.4 Modelo de media móvil autorregressivo El modelo de orden móvil autorregresivo general (orden finito) de órdenes, es:
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